Método da Adição para Equações do Primeiro Grau: Exemplo De Equacao Do Primeiro Grau Por Metodo De Adição
Exemplo De Equacao Do Primeiro Grau Por Metodo De Adição – O método da adição é uma técnica eficiente para resolver sistemas de equações do primeiro grau com duas incógnitas. Ele se baseia na manipulação algébrica das equações para eliminar uma das variáveis, simplificando a resolução do sistema. A compreensão dos princípios algébricos fundamentais é crucial para a aplicação correta deste método.
Introdução ao Método da Adição
O método da adição consiste em somar as equações do sistema de forma que uma das incógnitas seja eliminada. Essa eliminação é alcançada quando os coeficientes de uma das incógnitas são opostos. Se os coeficientes não forem opostos, é necessário multiplicar uma ou ambas as equações por constantes adequadas para torná-los opostos. Após a eliminação de uma incógnita, obtém-se uma equação com apenas uma variável, que pode ser resolvida facilmente.
O valor encontrado é então substituído em uma das equações originais para determinar o valor da outra incógnita.
Exemplos de Equações Simples
A seguir, apresentamos exemplos práticos que demonstram a aplicação do método da adição em equações simples. A organização dos exemplos facilita a compreensão do processo passo a passo.
| Equação | Passo 1 | Passo 2 | Solução |
|---|---|---|---|
| x + y = 5 x – y = 1 |
Somar as duas equações: (x + y) + (x – y) = 5 + 1 | 2x = 6; x = 3 Substituir x = 3 em x + y = 5: 3 + y = 5; y = 2 |
x = 3, y = 2 |
| 2x + y = 7 -2x + 3y = 1 |
Somar as duas equações: (2x + y) + (-2x + 3y) = 7 + 1 | 4y = 8; y = 2 Substituir y = 2 em 2x + y = 7: 2x + 2 = 7; x = 5/2 |
x = 5/2, y = 2 |
| 3x – 2y = 4 x + 2y = 6 |
Somar as duas equações: (3x – 2y) + (x + 2y) = 4 + 6 | 4x = 10; x = 5/2 Substituir x = 5/2 em x + 2y = 6: 5/2 + 2y = 6; y = 7/4 |
x = 5/2, y = 7/4 |
Exemplos de Equações Mais Complexas, Exemplo De Equacao Do Primeiro Grau Por Metodo De Adição
Em situações mais complexas, pode ser necessário multiplicar uma ou ambas as equações por uma constante antes de somá-las, a fim de obter coeficientes opostos para uma das incógnitas. A escolha da incógnita a ser eliminada frequentemente depende dos coeficientes e da facilidade de cálculo.
- Exemplo 1: 2x + 3y = 7
3x – 2y = 4 - Multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3: 4x + 6y = 14
9x – 6y = 12 - Somar as equações resultantes: 13x = 26; x = 2
- Substituir x = 2 em 2x + 3y = 7: 4 + 3y = 7; y = 1
- Solução: x = 2, y = 1
- Exemplo 2: 5x – 4y = 11
3x + 2y = 7 - Multiplicar a segunda equação por 2: 5x – 4y = 11
6x + 4y = 14 - Somar as equações: 11x = 25; x = 25/11
- Substituir x = 25/11 em 3x + 2y = 7: 75/11 + 2y = 7; y = 16/11
- Solução: x = 25/11, y = -16/11
Comparação com Outros Métodos
O método da substituição também é utilizado para resolver sistemas de equações do primeiro grau com duas incógnitas. Ambos os métodos possuem vantagens e desvantagens dependendo da estrutura do sistema de equações.
| Método | Vantagens | Desvantagens | Exemplo de Aplicação |
|---|---|---|---|
| Adição | Eficiente para sistemas com coeficientes simples ou facilmente manipuláveis. Eliminação direta de uma variável. | Pode ser menos eficiente se os coeficientes exigirem multiplicações complexas. | x + y = 5 x – y = 1 |
| Substituição | Simples para sistemas onde uma variável é facilmente isolada. | Pode levar a cálculos mais complexos com frações se a variável isolada tiver coeficiente diferente de 1. | y = 5 – x x – (5 – x) = 1 |
Problemas Aplicados
O método da adição encontra aplicações práticas em diversas situações do cotidiano.
Problema 1: A soma da idade de João e Maria é 35 anos. João é 5 anos mais velho que Maria. Determine as idades de João e Maria.
Modelagem: x + y = 35 (x = idade de João, y = idade de Maria)
x = y + 5
Resolução: Substituindo x na primeira equação: (y + 5) + y = 35; 2y = 30; y = 15; x = 20
A idade de João é 20 anos e a idade de Maria é 15 anos.
Problema 2: Cinco canetas e três lápis custam R$ 16,00. Três canetas e duas lápis custam R$ 11,00. Determine o preço de cada caneta e de cada lápis.
Modelagem: 5x + 3y = 16 (x = preço da caneta, y = preço do lápis)
3x + 2y = 11
Resolução: Multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por -3: 10x + 6y = 32
-9x – 6y = -33
Somar as equações: x = -1 (Impossível, pois o preço não pode ser negativo. Há um erro na modelagem ou nos dados do problema). A resolução deve ser revista para encontrar o erro na formulação do problema.
Ilustração Geométrica
Geometricamente, um sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas representa duas retas no plano cartesiano. A solução do sistema, se existir, é o ponto de interseção dessas duas retas.
A solução encontrada pelo método da adição corresponde às coordenadas (x, y) do ponto de interseção das duas retas representadas pelas equações do sistema. Se as retas forem paralelas, o sistema não possui solução. Se as retas forem coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Resolver equações do primeiro grau pelo método da adição revela-se uma jornada de precisão e estratégia. De exemplos simples a situações mais complexas, a manipulação algébrica cuidadosa conduz à solução, demonstrando a beleza da matemática em sua simplicidade. A capacidade de eliminar incógnitas, através de somas e subtrações estratégicas, torna este método uma ferramenta poderosa para desvendar sistemas de equações lineares.
Mais do que uma mera técnica matemática, o método da adição representa uma forma de raciocínio lógico e analítico, aplicável em diversas áreas do conhecimento. Assim, após explorarmos seus fundamentos e aplicações, percebemos sua importância fundamental na resolução de problemas matemáticos e na modelagem de situações reais.